Sono funzioni del tipo
y=ax+b (Equazione Esplicita di
una retta) e quindi la loro
rappresentazione grafica risulta essere
una retta.
Per rappresentare una
funzione lineare si cercano le coordinate di 2 suoi punti.
Si scelgono due ascisse
arbitrarie di due punti e si calcolano le relative funzioni ovvero si
sostituiscono le relative ascisse nella funzione e si trovano le relative
ordinate.
Esempio) Si vuole
rappresentare la funzione lineare y=3x-4
Si scelgono due ascisse
arbitrarie, per esempio x1=1 e x2=2 . Sostituendo 1 nella funzione si trova il
valore -1 ovvero f(1)=-1 e cioè si trova il punto A=(1 , -1);
Sostituendo 2 nella funzione
si trova il valore 2 e cioè si trova il
punto B=(2 , 2);
Rappresentati i due punti A e
B e uniti i due punti la retta viene rappresentata.
Cliccare su RETTA per vedere la rappresentazione della
suddetta funzione.
STUDIO_DELLE_FUNZIONI_QUADRATICHE
Sono funzioni del tipo
y=ax2+bx+c (Equazione di Parabola con asse parallelo all’asse
y) e quindi la loro rappresentazione grafica risulta essere una parabola.
Per rappresentare una
Parabola basta trovare il Vertice e le Intersezioni con gli Assi.
Per trovare l’ascissa del
Vertice basta calcolare il valore di –b/2a
oppure sviluppare la derivata prima della funzione e uguagliarla a zero
(Ciò perché il Vertice è un estremante – massimo o minimo – per la funzione) e
si trova lo stesso risultato. Il Vertice
è Massimo per la funzione se a<0, è minimo
per la funzione se a>0;
Per trovare l’ordinata del
Vertice basta sostituire la sua ascissa
nella funzione, ovvero calcolare la f(-b/2a);
Per trovare le intersezioni
con gli assi basta risolvere 2 sistemi :
tra x=0 (asse y) e la
parabola per trovare il suo punto sull’asse y;
tra y=0 (asse x) e la
parabola per trovare gli eventuali suoi punti sull’asse x.
Esempio) Si vuole
rappresentare la parabola y= -x2 +4 . In essa a= -1, b=0, c=4 e quindi il Vertice
ha coordinate x=-b/2a= 0 e y=0+4=4
ovvero V=(0 , 4); Facendo il sistema tra parabola e asse y si ritrova il
Vertice, mentre facendo il sistema tra parabola e asse x si trovano i 2 punti A=(-2 , 0)
e B=(2 , 0). Considerato un
sistema di assi cartesiani e rappresentati in esso i punti A , B, e il Vertice
si può rappresentare la parabola con asse coincidente con l’asse y e rivolta
verso il basso avendo a<0.
Cliccare su PARABOLA
per vedere la rappresentazione grafica della suddetta funzione
ESEMPIO STUDIO_DI_UNA_FUNZIONE_QUALSIASI
Per studiare l’andamento
grafico di una funzione qualsiasi si
deve prima studiare la relativa TEORIA DI UNA FUNZIONE
(fare click sull’argomento per il relativo collegamento);
In questo paragrafo si
studierà la funzione algebrica razionale fratta:
x2 – 3x + 2
y = -------------
x2 -
9
Seguendo i passi del Trattato sulla relativa teoria si ha che:
a)
Il DOMINIO
è per x ≠ -3
e x ≠ +3 ;
b)
Il SEGNO della Funzione : Essa è positiva
per y>0 , negativa per y<0 . Risolvendo la relativa Disequazione fratta (
per capire come risolvere le disequazioni prodotto o fratte fare click su RISOLUZIONE DELLE DISEQUAZIONI ) si troverà
che
la
funzione è positiva per x< - 3 ;
1<x<2 ; x>3
“ “
“ “ è negativa per - 3<x<1
; 2<x<3 ;
c)
INTERSEZIONE CON GLI ASSI: Per trovare il
punto di intersezione tra la funzione e l’asse y si svolge il sistema tra la
funzione e x=0 e si trova il punto A=( 0 , - 2/9); Per trovare gli eventuali punti di
intersezione tra la funzione e l’asse x
si svolge il sistema tra la funzione e y=0 e si trovano i due punti B=(1
, 0) e
C=(2 , 0) ;
d)
RICERCA
DEGLI ASINTOTI : Con i relativi
limiti si trova che:
x=
-3 e
x= 3 sono i due Asintoti
Verticali della suddetta funzione e che
y
= 1 è l’Asintoto Orizzontale della suddetta
funzione;
e)
RICERCA DEGLI INTERVALLI
DI CRESCENZA, DECRESCENZA
e delle coordinate dei Punti di
Massimo e di minimo:
Trovata la derivata prima della
funzione suddetta che risulta
3x2 – 22x +27
y’= -----------------
(x2 – 9)2
La
funzione risulta crescente
per y’ >0 ovvero per x<1,5 (circa) e per
x>5,7 (circa), mentre
risulta decrescente per y’<0 ovvero per 1,5<x<5,7;
Per trovare le ordinate del punto
di minimo e di Massimo si sostituiscono
rispettivamente 5,7 e 1,5 nella funzione. Si ha f(5,7)=
0,74 e f(1,5)=0,03 e
quindi il minimo è C=(5,7 ; 0,74) e il Massimo è D=(1,5 ; 0,03). Tali valori
sono stati calcolati in
approssimazione;
f)
INTERSEZIONE ASINTOTO ORIZZONTALE CON
FUNZIONE: Per
trovare
tale intersezione si svolge il sistema tra la funzione e l’asintoto orizzontale
y=1. Si trova il punto E=( 11/3 ; 1).
Per
trovare la Rappresentazione grafico della suddetta funzione si può
cliccare su GRAFICO FUNZIONE.
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