PASSAGGI PER RISOLVERE PROBLEMI DI GEOMETRIA ANALITICA PIU' O MENO COMPLESSI a cura del Prof.Sampognaro Giuseppe.

PREMESSA: Per le formule necessarie alla risoluzione dei  problemi che seguono cliccare su --> FORMULARIO DI MATEMATICA

Paragrafo a) Sulla RETTA, TRIANGOLI E POLIGONI

1) RICERCA DEL PUNTO D'INCONTRO(intersezione) TRA 2 RETTE: Si risolve il sistema tra le equazioni delle 2 rette.

2) RICERCA DELL'AREA DI UN TRIANGOLO DATE LE COORDINATE DEI 3 VERTICI: Si calcola prima la distanza tra 2 vertici scelti come base; quindi si cerca l'equazione della retta congiungente i 2 vertici precedenti in forma implicita; si calcola poi la distanza(altezza) tra questa retta (base) e il terzo vertice; infine si svolge il semiprodotto tra la misura della base e l'altezza.

3)TROVARE L'EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER UN PUNTO DATO E PARALLELA AD UNA RETTA DATA: Si scrive prima l'equazione del fascio di rette passanti per il punto dato; Si sostituisce al generico coefficiente angolare del fascio il coefficiente angolare della retta data.

4) TROVARE L'EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER UN PUNTO DATO E PERPENDICOLARE AD UNA RETTA DATA: Si scrive prima l'equazione del fascio di rette passanti per il punto dato; Si sostituisce al generico coefficiente angolare del fascio il reciproco ed opposto del coefficiente angolare della retta data.

5) VERIFICARE SE UN PUNTO DATO APPARTIENE AD UNA RETTA DELLA QUALE E' DATA L'EQUAZIONE: Si sostituiscono le coordinate del punto nell'equazione della retta; Se si trova una identità allora il punto appartiene alla retta.

6) SCRIVERE LE EQUAZIONI DELLE 2 BISETTRICI DELLE DUE RETTE DELLE QUALI VENGONO DATE LE EQUAZIONI: Sapendo che la BISETTRICE è una semiretta che divide l'angolo formato tra 2 rette in due parti uguali, se P(x,y) è un punto qualsiasi di una bisettrice si uguagliano le distanze di P dalle 2 rette con le relative formule facendo seguire all'uguale i due segni opposti + e -, ovvero d1=+- d2. Risolvendo le 2 equazioni, prima col segno + e poi col segno - ,si trovano le 2 equazioni delle 2 bisettrici che saranno perpendicolari tra loro.

7) TROVARE LE COORDINATE DEL QUARTO VERTICE INCOGNITO "D"  DI UN PARALLELOGRAMMA DEL QUALE SONO NOTE LE COORDINATE  DEI VERTICI "A", "B" e "C": Si risolve un sistema nel quale si inseriscono le uguaglianze delle distanze AB=CD  e  BC=AD elevandole al quadrato per eliminare le radici quadrate.

8) TROVARE LE COORDINATE DEL BARICENTRO DI UN TRIANGOLO: Ricordando che il BARICENTRO di un Triangolo è il punto d'incontro delle sue 3 MEDIANE e sapendo che la MEDIANA è il segmento che unisce ogni vertice con il punto medio del lato opposto, per trovare il BARICENTRO si trovano prima le equazioni di 2 mediane (equazione retta per 2 punti - vertice e punto medio - dopo aver trovato le coordinate del punto medio) e quindi si svolge il sistema tra le 2 equazioni delle 2 mediane.

9) TROVARE LE COORDINATE DELL'INCENTRO DI UN TRIANGOLO: Ricordando che l'INCENTRO di un Triangolo è il punto d'incontro delle 3 sue BISETTRICI e che la BISETTRICE tra due rette si trova come spiegato nel problema n° 6 di questo paragrafo, per trovare l'incentro di un triangolo si trovano prima le equazioni dei 3 lati del triangolo e quindi si scelgono 2 di esse e si trova una bisettrice (con il segno +) formata da tali 2 rette; Si ripete il procedimento per altri 2 lati; Trovate 2 bisettrici si svolge il sistema tra esse  trovando così l'INCENTRO del triangolo. Si ricorda anche che l'INCENTRO è il Centro del Cerchio inscritto nel Triangolo.

10) TROVARE LE COORDINATE DEL CIRCOCENTRO DI UN TRIANGOLO: Ricordando che il CIRCOCENTRO di un Triangolo è il punto d'incontro dei 3 suoi ASSI e che l'ASSE di un segmento è la perpendicolare condotta dal suo punto medio, per trovare le coordinate del CIRCOCENTRO di un triangolo si trovano prima le equazioni di due assi di due lati del triangolo procedendo come spiegato nel problema  4 del presente paragrafo, ovviamente dopo aver trovato i due relativi punti medi e i coefficienti angolari dei 2 lati rispettivi; Si svolge quindi il sistema tra i 2 assi e si trovano così le coordinate del CIRCOCENTRO del Triangolo. Si ricorda anche che il CIRCOCENTRO è il Centro del Cerchio circoscritto nel Triangolo.

11)TROVARE LE COORDINATE DELL'ORTOCENTRO DI UN TRIANGOLO: Ricordando che l'ORTOCENTRO di un Triangolo è il punto d'incontro delle 3 sue ALTEZZE e che per ALTEZZA s'intende la perpendicolare condotta da ogni vertice del triangolo al suo lato opposto, per trovare l'ORTOCENTRO si trovano prima le equazioni di due altezze procedendo come spiegato nel problema 4 di questo paragrafo, dopo aver trovato le equazioni di 2 lati del triangolo, e quindi svolgendo il sistema tra le 2 altezze.

12) TROVARE LA DISTANZA DI 2 RETTE PARALLELE DATE LE LORO EQUAZIONI:  Si trova prima un punto di una delle due rette (dando ad x un valore arbitrario e trovando così il valore corrispondente della y ). Si calcola quindi la distanza tra punto e retta.

13) TROVARE IL LUOGO GEOMETRICO DEI PUNTI EQUIDISTANTI DA 2 PUNTI DATI: Basta trovare l'asse del segmento come spiegato nel problema 4 e 10 del presente paragrafo avendo prima trovato il punto medio del segmento formato dai 2 punti dati e aver trovato il coefficiente angolare della retta per i 2 punti dati.

14)TROVARE IL LUOGO GEOMETRICO DEI PUNTI EQUIDISTANTI DA 2 RETTE DELLE QUALI SONO DATE LE EQUAZIONI: Basta trovare le bisettrici delle due rette come spiegato nel problema 6 di questo paragrafo.

15) TROVARE LE COORDINATE GENERICHE DI UN PUNTO DI UNA RETTA O DI UNA CURVA: Basta trovare l'equazione esplicita della retta o della curva.

Paragrafo b) Sulla CIRCONFERENZA

1) COME RICONOSCERE SE UNA EQUAZIONE CANONICA E' QUELLA DI UNA CIRCONFERENZA: Risultano 3 le condizioni: a) I termini di secondo grado della x e della y devono essere uguali; b) Non vi deve essere il termine in xy; c)Il calcolo del raggio deve risultare positivo.

2) COME VERIFICARE SE UN PUNTO,DEL QUALE SONO DATE LE COORDINATE, RISULTA ESSERE INTERNO, ESTERNO O APPARTENENTE ALLA CIRCONFERENZA: Se la somma dei quadrati delle coordinate del punto risulta minore del quadrato del raggio allora il punto è interno al cerchio; Se la suddetta somma è maggiore del quadrato del raggio allora il punto è esterno al cerchio; Infine se tale somma è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza.

3) COME SI TROVANO I PUNTI D'INCONTRO TRA UNA CIRCONFERENZA ED UNA RETTA O TRA 2 CIRCONFERENZE: Basta risolvere il sistema composto dalle equazioni della circonferenza e retta o delle 2 circonferenze.

4) COME VERIFICARE CHE UNA RETTA RISULTA ESTERNA, TANGENTE O SECANTE AD UNA CIRCONFERENZA: Due possono essere i procedimenti: Proc. a) Si cerca la distanza dal centro della circonferenza alla retta: se tale distanza è maggiore del raggio allora la retta è esterna; se tale distanza è uguale al raggio allora la retta è tangente; infine se tale distanza è minore del raggio allora la retta è secante.   Proc. b)Si risolve il sistema tra l'equazione della circonferenza e l'equazione della retta e si trova una equazione di secondo grado della quale si trova il discriminante(DELTA). Se DELTA<0 allora la retta è esterna(nessuna intersezione); Se DELTA=0 allora la retta è tangente(due intersezioni coincidenti); Se DELTA>0 allora la retta è secante(due intersezioni distinte).

5)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELLA RETTA USCENTE DA UN PUNTO E TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA: Si premette che se il punto è esterno ad una circonferenza allora sono due le tangenti che possono trovarsi; Se il punto appartiene alla circonferenza allora vi è una sola tangente; Se infine il punto è interno alla circonferenza allora da esso non possono essere tracciate tangenti. Si procede risolvendo il sistema tra l'equazione della circonferenza e il fascio proprio di rette uscenti dal punto. Si troverà alla fine un'equazione parametrica di secondo grado (parametro m). Si impone DELTA=0 e si trovano 2 valori di m se il punto è esterno, un solo valore di m se il punto appartiene alla circonferenza. Si sostituiscono questi valori di m nel fascio e si trovano le tangenti alla circonferenza.

6)SCRIVERE L'EQUAZIONE DI UNA CIRCONFERENZA AVENTE CENTRO IN C E PASSANTE PER UN PUNTO P, SE VENGONO DATE LE COORDINATE DI C E DI P: Dopo aver trovato la distanza CP (raggio) si scrive l'equazione della circonferenza noti centro e raggio (vedere FORMULARIO DI MATEMATICA).

7)SCRIVERE L'EQUAZIONE DI UNA CIRCONFERENZA DELLA QUALE VENGONO DATE LE COORDINATE DI 2 PUNTI ESTREMI DI UN DIAMETRO: Si cercano prima le coordinate del punto medio tra i 2 punti dati. Tale punto medio risulta il Centro della circonferenza. Si calcola quindi la semidistanza tra i due punti dati che risulta il raggio. Quindi si scrive l'equazione della circonferenza dati il centro e il raggio.

8)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA CHE PASSA PER 3 PUNTI A,B,C DEI QUALI VENGONO DATE LE COORDINATE: Due possono essere i procedimenti:       Proc.a) Si scrivono le equazioni degli assi di AB e di BC (vedi problemi 4 e 10 del paragrafo a di questo trattato); Si svolge il sistema tra questi 2 assi e si trova il centro della circonferenza; Si cerca quindi la distanza tra centro e un punto(raggio) e infine si scrive l'equazione della circonferenza noti centro e raggio.         Proc.b)Si scrive l'equazione canonica della circonferenza; Si risolve il sistema a 3 incognite (a,b,c) ottenuto sostituendo le coordinate dei 3 punti in x e y dell'equazione e quindi si scrive l'equazione canonica sostituendo ad a,b,c i valori ottenuti. N.B) E' consigliabile ricavare c dalla prima equazione e sostituire nella II e III equazione.

 Paragrafo c): Sulla PARABOLA

1)COME RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE UNA PARABOLA: Necessita trovare le coordinate del Vertice e le intersezioni con gli assi (vedere anche FORMULARIO DI MATEMATICA)

2)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELLA PARABOLA PASSANTE PER 3 PUNTI DEI QUALI SONO DATE LE COORDINATE: Si procede in modo simile al problema 8 del paragrafo b di questo trattato. Si scrive l'equazione della parabola. Si sostituiscono in x e y le coordinate dei 3 punti e si ottiene un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) delle quali si trovano i valori e quindi si sostituiscono nell'equazione generica.

3)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELLA PARABOLA, NOTE LE COORDINATE DEL VERTICE E QUELLE DI UN PUNTO: Si procede in modo simile al precedente problema: Si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle quali si sostituiscono in x e y le coordinate del Vertice e del punto; Nella III equazione si uguaglia l'ascissa(ordinata) del vertice alla relativa formula. Si ricorda(vedi FORMULARIO DI MATEMATICA) che l'asse della parabola è verticale (x=-b/2a) l'equazione della parabola è y=ax^2+bx+c e il vertice ha ascissa=-b/2a, mentre se l'asse è orizzontale (y=-b/2a) l'equazione della parabola è x=ay^2+by+c e il vertice ha ordinata y=-b/2a.

4)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELLA PARABOLA, NOTE LE COORDINATE DI 2 PUNTI E L'EQUAZIONE DELL'ASSE: Si procede in modo simile al precedente problema:Si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle quali si sostituiscono in x e y le coordinate dei 2 punti e nella terza si impone -b/2a=valore dell'asse. Trovati a,b,c si sostituiscono tali valori nell'equazione generica.

5)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELLA PARABOLA,NOTE LE COORDINATE DI 2 PUNTI E L'EQUAZIONE DELLA DIRETTRICE:Si procede in modo simile al precedente problema:Si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle quali si sostituiscono in x e y le coordinate dei 2 punti e nella terza si impone 4ac-b^2=valore della direttrice. Trovati a,b,c si sostituiscono tali valori nell'equazione generica.

6)TROVARE I PUNTI D'INCONTRO TRA PARABOLA E RETTA O TRA DUE PARABOLE: Problema simile al 3 del Paragrafo b. Basta risolvere il sistema composto dalle equazioni della parabola e retta o delle 2 parabole.

7) COME VERIFICARE CHE UNA RETTA RISULTA ESTERNA, TANGENTE O SECANTE AD UNA PARABOLA: E' simile al problema 4 del paragrafo b. Si risolve il sistema tra l'equazione della parabola e l'equazione della retta e si trova una equazione di secondo grado della quale si trova il discriminante(DELTA). Se DELTA<0 allora la retta è esterna(nessuna intersezione); Se DELTA=0 allora la retta è tangente(due intersezioni coincidenti); Se DELTA>0 allora la retta è secante(due intersezioni distinte).

8)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELLA RETTA USCENTE DA UN PUNTO E TANGENTE AD UNA PARABOLA: Problema simile al 5 del paragrafo b. Si premette che se il punto è esterno ad una parabola allora sono due le tangenti che possono trovarsi; Se il punto appartiene alla parabola allora vi è una sola tangente; Se infine il punto è interno alla parabola allora da esso non possono essere tracciate tangenti. Si procede risolvendo il sistema tra l'equazione della parabola e il fascio proprio di rette uscenti dal punto. Si troverà alla fine un'equazione parametrica di secondo grado (parametro m). Si impone DELTA=0 e si trovano 2 valori di m se il punto è esterno, un solo valore di m se il punto appartiene alla parabola. Si sostituiscono questi valori di m nel fascio e si trovano le tangenti alla parabola.

Paragrafo d) SULLA  ELLISSE  E  SULLA  IPERBOLE

1)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELL'ELLISSE DI CUI E' NOTA LA MISURA DI UN ASSE E PASSANTE PER UN PUNTO DEL QUALE SONO DATE LE COORDINATE: Sapendo che l'ellisse ha equazione canonica x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 e che 2a e 2b sono le misure dei 2 assi (il primo sull'asse x e il secondo sull'asse y), si calcola a oppure b dimezzando il valore dato; Si sostituiscono ad x e y le coordinate del punto P e quindi si trova il valore incognito b oppure a. In modo analogo si può risolvere per l'iperbole.

2)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELL'ELLISSE DELLA QUALE SI CONOSCE UN VERTICE E UN FUOCO: Si presentano 2 casi: a)se il vertice e il fuoco stanno sullo stesso asse, per esempio sull'asse x, allora si conosce il valore di a (op.di -a) e di c (op.di -c). Si calcola b con la formula relativa (vedi FORMULARIO DI MATEMATICA) e quindi si scrive l'equazione dell'Ellisse. In modo analogo si può risolvere per l'iperbole.

3)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELL'ELLISSE NOTE LA MISURA DELL'ECCENTRICITA' E LE COORDINATE DI UN FUOCO: Sapendo che l'eccentricità (in base all'equazione e alla misura dell'asse maggiore ) risulta c/a oppure c/b e che il fuoco ha coordinate (c,0) oppure (c,b), si calcola, dati c ed a (oppure b) , facilmente b (oppure a) e quindi scrive l'equazione dell'ellisse. In modo analogo si può risolvere per l'iperbole.

4) SCRIVERE L'EQUAZIONE DELL'ELLISSE NOTE LE COORDINATE DI UN PUNTO E QUELLE DI UN FUOCO: La coordinata diversa da zero è il valore di c. Si sostituiscono nell'equazione a posto di x e y  le coordinate del  punto. Si trova così una equazione nelle incognite a e b. Si eleva al quadrato il valore di c e si uguaglia ad a^2-b^2 (oppure b^2-a^2) e si crea un sistema dal quale si ricavano a e b. In modo analogo si può risolvere per l'iperbole.

5)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELL'ELLISSE SAPENDO LE COORDINATE DI DUE SUOI PUNTI: Nell'equazione dell'ellisse si pone 1/(a^2)=u  e  1/(b^2)=v. Si scrive un sistema sostituendo ad x e y di ogni equazione le coordinate di ogni punto. Ottenuto il sistema lineare di 2 equazioni nelle incognite u e v e risolto si trovano i loro valori, posto a=1/u  e  b=1/v  si può scrivere l'equazione dell'ellisse. Questo problema si può ripetere identicamente per l'iperbole.

6)SCRIVERE L'EQUAZIONE CANONICA DELL'ELLISSE SE ESSA E' SCRITTA IN FORMA IMPLICITA  mx^2+py^2=q : Si divide ogni termine per q  e si porrà q/m=a^2 ,  q/p=b^2 e in questo modo si trova l'equazione. Questo problema si può ripetere identicamente per l'iperbole. 

7)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELL'IPERBOLE NOTI LE EQUAZIONI DEGLI ASINTOTI E LE COORDINATE DEI FUOCHI: Sapendo che gli asintoti hanno equazione y=+-b/a e che dato un fuoco viene conosciuto il valore di c il cui quadrato è uguale ad  a^2+b^2, si risolve un sistema ponendo in una equazione b/a=valore asintoto e nell'altra a^2+b^2=valore di c.

8)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELL'IPERBOLE NOTI LE EQUAZIONI DEGLI ASINTOTI E LE COORDINATE DI UN SUO PUNTO: Si procede come nel caso precedente impostando un sistema di 2 equazioni  ponendo nella prima b/a=valore asintoto e nella seconda sostituendo nell'equazioe,a posto di x e y, le coordinate del punto.

9)SCRIVERE L'EQUAZIONE DELL'IPERBOLE EQUILATERA (CON EQUAZIONE RIFERITA AGLI ASSI) CHE PASSA PER UN PUNTO DATO: Sapendo che l'equazione dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli assi) è x^2-y^2=a^2 , si sostituiscono le coordinate del punto in x e y e si trovano i valori di a.

10) SCRIVERE L'EQUAZIONE DELL'IPERBOLE EQUILATERA(CON EQUAZIONE RIFERITA AGLI ASINTOTI) CHE PASSA PER UN PUNTO DATO: Sapendo che l'equazione dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli asintoti) è xy=k , si sostituiscono le coordinate del punto in x e y e si trova il valore di k.

11)SCRIVERE LE EQUAZIONI DELLE TANGENTI CONDOTTE DA UN PUNTO AD UNA ELLISSE OPPURE AD UNA IPERBOLE: Il procedimento è identico a quello illustrato nei problemi 5 paragrafo b (circonferenza) oppure  8 paragrafo c (parabola).

12)COME SI TROVA L'ORDINATA DI UN PUNTO DI UNA RETTA O CONICA GENERICA SE VIENE DATA L'ASCISSA DEL PUNTO: Si sostituisce l'ascissa nell'equazione a posto della x e si viene a calcolare l'ordinata.

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