COLLOQUIO  ESAMI  DI  STATO

DOMANDE CON RELATIVE RISPOSTE DI

ANALISI MATEMATICA (STUDIO DI UNA FUNZIONE)

 

DOMANDA N.1: Quali sono le funzioni fratte per le quali il Dominio si trova imponendo al loro Denominatore d’essere diverso da zero ?

RISPOSTA: Risultano essere le funzioni algebriche razionali fratte, le funzioni algebriche irrazionali(con indice dispari) fratte, le funzioni trascendenti goniometriche fratte(non irrazionali ad indice pari) e le funzioni trascendenti esponenziali fratte(non irrazionali ad indice pari).

 

DOMANDA N.2:  Quali sono le funzioni  per le quali il Dominio si trova risolvendo una Disequazione ?

RISPOSTA:  Risultano essere le funzioni algebriche irrazionali ad indice pari e le funzioni trascendenti logaritmiche

 

DOMANDA N.3: In quali passi dello Studio di una Funzione si utilizza una disequazione ?

RISPOSTA:

a)      Nella ricerca del Dominio per le funzioni(vedi Domanda n.2) algebriche irrazionali ad indice pari e le funzioni trascendenti logaritmiche;

b)      Per cercare il segno di una funzione y=f(x) e precisamente s’impone y>0 per trovare gli intervalli ove la funzione è positiva. La risoluzione di tale disequazione  restituisce anche gli intervalli dove la funzione è negativa (y<0);

c)      Per cercare gli intervalli dove la funzione è crescente (imponendo alla derivata prima d’essere positiva  ovvero y’>0). La risoluzione di tale disequazione restituisce anche gli intervalli dove la funzione è decrescente (y’<0);

d)      Per cercare gli intervalli dove la funzione è concava(ovvero volge la concavità verso l’alto) (imponendo alla derivata seconda d’essere positiva  ovvero y’’>0). La risoluzione di tale disequazione restituisce anche gli intervalli dove la funzione è convessa(ovvero volge la concavità verso il basso,cioè dove y’’<0);

 

DOMANDA N.4: Quali sono le principali differenze tra le Funzioni Algebriche Razionali Intere e le Funzioni Algebriche Razionali Fratte ?

RISPOSTA: 

a) Le Funzioni Algebriche Razionali Intere sono continue in tutto il loro dominio che risulta tutto R, ovvero "x '      mentre le Funzioni Algebriche Razionali fratte sono discontinue nelle radici (se esistono) del loro denominatore.

b)        Le Funzioni Algebriche Razionali Intere non hanno Asintoti; Le Funzioni Algebriche Razionali Fratte possono avere Asintoti Verticali, Orizzontali  oppure Obliqui.

 

DOMANDA N.5: Dare una Definizione di Funzione.

RISPOSTA: Si definisce Funzione una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni valore della Variabile Indipendente (x) uno e un solo valore della Variabile Dipendente (y).

 

DOMANDA N.6: Dare un Concetto di Dominio e di Codominio.

RISPOSTA: Si definisce Dominio l’insieme dei valori che si possono attribuire alla Variabile Indipendente (x); Si definisce Codominio l’insieme dei valori associati alla Variabile Dipendente (y).

 

DOMANDA N.7: Si esponga sinteticamente la Metodologia di Ricerca del Dominio delle varie funzioni.

RISPOSTA:

a)      Per le funzioni algebriche razionali intere il dominio è tutto R;

b)      Per le funzioni algebriche razionali fratte il dominio si trova imponendo al Denominatore d’essere diverso da zero;

c)      Per le funzioni algebriche irrazionali intere o fratte con indice dispari il dominio è come le rispettive funzioni algebriche razionali intere o fratte;

d)      Per le funzioni algebriche irrazionali intere o fratte con indice pari il dominio si trova imponendo al Radicando d’essere >=0;

e)      Per le funzioni  trascendenti  esponenziali intere o fratte  il dominio è come le rispettive funzioni algebriche razionali intere o fratte;

f)       Per le funzioni trascendenti logaritmiche intere o fratte il Dominio si trova imponendo all’argomento d’essere >0.

g)      Per le funzioni trascendenti goniometriche il dominio, escludendo il suo sottoinsieme che risulta l’intervallo  0  x   2p, è come quello delle rispettive funzioni algebriche razionali intere o fratte.

 

DOMANDA N.8: Esporre un concetto di funzione crescente o decrescente in un intervallo.

RISPOSTA:

        a) Una funzione risulta crescente in un intervallo (a,b) del suo dominio quando,   considerati due suoi valori x1 e x2, se x1<x2 (oppure x1>x2) allora risulterà f(x1)<f(x2) [oppure f(x1)>f(x2)]. Ciò significa che al crescere(decrescere) della variabile indipendente (x) devono crescere(decrescere) i valori dei corrispondenti valori della variabile dipendente (y);

b)       Una funzione risulta decrescente in un intervallo (a,b) del suo dominio quando, considerati due suoi valori x1 e x2, se x1<x2 (oppure x1>x2) allora risulterà f(x1)>f(x2) [oppure f(x1)<f(x2)]. Ciò significa che al crescere(decrescere) della variabile indipendente (x) devono decrescere(crescere) i valori dei corrispondenti valori della variabile dipendente (y).

 

DOMANDA N.9: Concetto di Asintoto e Ricerca Metodologica dell’Asintoto Verticale,Orizzontale ed Obliquo.

RISPOSTA: Si definisce Asintoto una retta che tende a toccare la funzione nei suoi estremi. Esso può essere Verticale,Orizzontale o Obliquo.

·        Per trovare l’asintoto verticale si svolge il limite per x tendente ad una radice x0 del denominatore della funzione o ad un particolare valore della x e il risultato è +  oppure - . Il valore x0 è detto punto d’infinito e x=x0 è l’equazione dell’asintoto verticale;

·        Per trovare l’asintoto orizzontale si svolge il limite per x tendente a -  o +  e il risultato deve essere  t (finito). L’asintoto orizzontale avrà equazione  y=t.

·        Nel caso in cui non esiste l’asintoto orizzontale può essere presente l’asintoto obliquo. La sua equazione generale è  y=mx+q  dove m  e  q sono due valori che si devono cercare. Si ha che m è uguale al limite per xà a -  o +  di  f(x)/x , mentre  q  è  uguale al limite per xà a -  o +  di  f(x)-mx .

 

DOMANDA  N.10: Concetto di  continuità, di discontinuità e Ricerca Metodologica dei punti di discontinuità.

RISPOSTA: Una funzione è continua in un valore x0  del suo dominio quando il limite per xàx0  risulta essere  f(x0). Si ottiene cioè il punto P=[x0, f(x0)]. Una funzione è continua in un intervallo (a,b) del suo dominio se è continua in ogni punto di tale intervallo. Se nel punto x0 il limite non è f(x0), ma è un valore non finito oppure si presenta nella forma  0/0  (Prima forma indeterminata), allora si dirà che in x0 si presenta un caso di discontinuità. Esistono tre casi di discontinuità dei quali si presenta ora una relativa  Ricerca Metodologica.

·        DISCONTINUITA’ di Prima Specie: La funzione y=f(x) presenta una discontinuità di prima specie in x0  se il risultato del limite sinistro (xàx0-) risulta essere diverso di quello del limite destro (xàx0+). La differenza, in valore assoluto, tra questi 2 risultati si chiama SALTO della discontinuità.

·        DISCONTINUITA’  di Seconda Specie: La funzione y=f(x) presenta una discontinuità seconda specie in x0  se il risultato del limite per xàx0  risulta -  o + .  Il valore x0 è detto punto d’infinito e x=x0 è l’equazione dell’asintoto verticale;

·        DISCONTINUITA’  di  Terza  Specie: La funzione y=f(x) presenta una discontinuità di terza specie in x0  se il risultato del limite per xàx0  risulta 0/0. La discontinuità è detta eliminabile. Si svolge poi il limite applicando il Teorema di De L’Hospital.

 

DOMANDA  N.11:  Concetto di Simmetria e  suoi tipi più importanti.

RISPOSTA:  La Simmetria è una trasformazione geometrica che fa corrispondere alcuni punti ad altri che godono di particolari proprietà.  La Simmetria può essere CENTRALE o ASSIALE: 

 

DOMANDA  N.12: Concetto di Funzione PARI  o  DISPARI

RISPOSTA:

 

DOMANDA N.13: Illustrare le Ipotesi e le Tesi dei Teoremi di ROLLE e LAGRANGE e individuare le differenze anche geometriche (con i coefficienti angolari).

RISPOSTA:

·        Ipotesi Rolle: Data una funzione y=f(x) continua in tutto l’intervallo (a,b), sottoinsieme del dominio e derivabile nei punti interni di tale intervallo, se f(a)=f(b) , allora -àTesi di Rolle: Esisterà almeno un punto c appartenente ai punti interni di (a.b) per il quale si ha  y’(c)=0;

·        Ipotesi Lagrange: Data una funzione y=f(x) continua in tutto l’intervallo (a,b), sottoinsieme del dominio e derivabile nei punti interni di tale intervallo, se f(a) è diversa da f(b) , allora -àTesi di Lagrange: Esisterà almeno un punto c appartenente ai punti interni di (a.b) per il quale si ha  y’(c)= [f(b)-f(a)]/(b-a);

·        La prima differenza è nelle 2 ipotesi: Per Rolle f(a)=f(b), mentre in Lagrange le 2 ordinate devono essere disuguali; La seconda differenza è che Rolle il punto di coordinate [c , f(c)] deve risultare un punto di minimo o Massimo, avendo il coefficiente angolare uguale a zero, mentre in Lagrange  in tale punto il coefficiente angolare deve essere uguale a quello della retta congiungente i punti estremi dell’intervallo che sono A=[a, f(a)] e  B=[b, f(b)].

 

DOMANDA  N. 14: Concetto di PRIMITIVA di una funzione e suo legame con la derivata

RISPOSTA: Si definisce Primitiva di una funzione y=f(x) un insieme di funzioni del tipo y=F(x) + c  che derivate restituiscono la funzione y=f(x). Le funzioni primitive si trovano risolvendo l’Integrale indefinito   che è quindi uguale a F(x)+c . Si ha quindi D[F(x) + c] = f(x).

 

DOMANDA  N.15: Dare un significato pratico dell’Integrale definito di una funzione

RISPOSTA: Quando si svolge l’Integrale definito di una funzione, cioè per esempio,   si trova la superficie della parte  di piano delimitata dalla funzione y=f(x), dalle due rette verticali di equazione x=a  e  x=b  e dall’asse delle x.

 

DOMANDA  N.16: Quali sono la Ipotesi e la Tesi del Teorema di Torricelli?

RISPOSTA: Ipotesi: Data la funzione y=f(x) continua in (a,b) , sottoinsieme del suo dominio, per essa si ha à Tesi:   = F(b) – F(a)

DOMANDA N. 17 : Quali sono la Ipotesi e la Tesi del Teorema di Torricelli-Barrow ?

RISPOSTA: Ipotesi: Data la funzione y=f(x) continua in (a,b) , sottoinsieme del suo dominio, per essa si ha à Tesi:  = F(x) + c , dove  F(x) + c  sono le primitive della funzione y=f(x).

 

DOMANDA  N.18: Quando si applica il Teorema di De L’Hospital  e cosa afferma ?

RISPOSTA: Si applica per risolvere i limiti che si presentano sotto forma indeterminata 0/0 e/o   . Afferma che il limite del rapporto di 2 funzioni che si presenta in una delle 2 forme indeterminate citate prima è uguale al limite del rapporto delle derivate delle 2 funzioni.

 

DOMANDA N.19: Come si trovano le ascisse e le ordinate dei punti di Minimo e Massimo di una funzione y=f(x) ?

RISPOSTA: Per trovare le ascisse si cerca la derivata prima della funzione e quindi si pone uguale a zero. Per trovare la rispettiva ordinata si sostituisce l’ascissa trovata alla x nella funzione iniziale.

 

DOMANDA  N.20: Come si trovano le ascisse e le ordinate dei punti di Flesso di una funzione y=f(x) ?

RISPOSTA: Per trovare le ascisse si cerca la derivata seconda della funzione e quindi si pone uguale a zero. Per trovare la rispettiva ordinata si sostituisce l’ascissa trovata alla x nella funzione iniziale.

 

DOMANDA  N.21: Possono gli asintoti incontrare una funzione e come si trovano gli eventuali punti di intersezione ?

RISPOSTA:

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Altre Conoscenze sullo studio delle funzioni si possono trovare cliccando su à STUDIO FUNZIONI.